Was ist ein Fraktal?

Ein Fraktal ist ein Muster, welches sich in sich selbstähnlich wiederholt.

Im Blumenkohl findet man Fraktale. (beim nächsten Einkauf mal darauf achten!)

Fraktal kommt aus dem Lateinischen fractus=gebrochen – man könnte ein Stück aus einem Fraktal herausbrechen und hätte dennoch alle Informationen, um das gesamte Fraktal wieder herzustellen.

Jedes Fraktal lässt sich durch eine mathematische Formel beschreiben.

Fraktale in der Geometrie gehen auf den Mathematiker Benoît Mandelbrot im Jahre 1975 (mein Geburtsjahr) zurück. Er beschrieb die Mandelbrot-Menge und prägte den Begriff Fraktal.

Die einfachsten Beispiele für selbstähnliche Objekte sind Strecken, Parallelogramme (u. a. Quadrate) und Würfel, denn sie können durch zu ihren Seiten parallele Schnitte in verkleinerte Kopien ihrer selbst zerlegt werden.

Diese sind jedoch keine Fraktale, weil ihre Ähnlichkeitsdimension und ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension übereinstimmen.

Ein Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal ist das Sierpinski-Dreieck, welches aus drei auf die Hälfte verkleinerten Kopien seiner selbst aufgebaut ist. Es hat somit die Ähnlichkeitsdimension  {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1{,}585, während die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension gleich 1 ist.