Was sind Fraktale?

Eine allgemeine „Definition“ für Fraktale sähe eventuell so aus:

>Fraktale sind Gebilde, welche aus entweder kleineren oder größeren „Kopien“ seiner selbst zusammengesetzt sind. Man spricht eher von selbstähnlichen Gebilden.<

Eine klare Definition zu geben, ist sehr schwierig. Ich erinnere mich, gelesen zu haben (in einer Schrift eines Mathematikers in diesem Bereich), dass man ein Fraktal erkennen und wahrnehmen muss, um sich ein Bild davon zu machen. Man kann es mathematisch beschreiben, aber eine verbale Definition zu geben, ist ein Unterfangen. Dies kann ein Verweis in die Anthropologie sein. Existiert doch etwas im Menschen, was alle Wissenschaften übersteigt? Der Zusammenhang zwischen der Mathematik und Harmonie ist hinlänglich bekannt und dargelegt. Wir können Harmonie mathematische beschreiben. Die Wahrnehmung jedoch beruht auf unseren Sinnesorganen. Schon Platon unterschied zwischen Leib und Seele. Die Seele sei etwas göttliches. Sie sei in der Lage sich an das Göttliche zu erinnern, das sie einst erblicken konnte als sie außerhalb des menschlichen Körpers existierte.


Harmonisches Chaos

Fraktale Figuren oder Gebilde faszinieren Menschen. Was ist der Grund dafür? Ein Fraktal scheint fast einem Dualismus gleichzukommen. Es vereint Chaos und Harmonie in sich. Der Mensch ist auf Harmonie genordet. Alles, was harmonisch ist, empfinden wir als angenehm und es vermittelt ein Gefühl der Ruhe und Kontrolle. Wir sind natürliche Wesen. Alles in der Natur ist geordnet. Diese Ordnung zu erkennen und beschreiben zu können, ist Grundlage für unsere Fähigkeit zu planen. Für uns Menschen wäre es wohl fatal, wenn wir vor einem Chaos stehen würden. Chaos bedeutet für uns Instabilität. Wir können nicht mehr kontrollieren und planen. Unser Alltag wäre dahin.

Was wäre, wenn das Chaos doch Ordnung und Harmonie bedeuten? Genau das haben Wissenschaftler herausgefunden im Bereich der fraktalen Geometrie.

Dies könnte ein Indiz für den Grund sein, weshalb wir Fraktale als faszinierend erleben. Wir sehen augenscheinlich Chaos, Unordnung, Orientierungslosigkeit. Jedoch nimmt etwas ganz anderes in uns wahr, dass da mehr ist. Vieles können wir noch nicht wissenschaftlich fassen – nur „seelisch“. Was bedeutet es bloß, wenn wir davon ausgingen, Platon habe Recht?

Fraktale in der Mathemetik / Geometrie

Begonnen hat das breite Interesse mit einem Mathematiker namens Benoît Mandelbrot ( †2010). Er hat im Jahre 1975 den Begriff  „fractal“ geprägt. „fractus“ ist ein lateinisches Wort (Verb: frangere, frango, fregi, fractus) und heißt übersetzt „gebrochen“ (daher auch der medizinische Begriff „Fraktur“ für einen Knochenbruch).

Benoît Mandelbrot galt als der Begründer der fraktalen Geometrie.

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Womit begann es?

Der Klassiche Fall: Das Siepinski Dreieck.

Waclaw Sierpinski ein polnischer Mathematiker und Philosoph (1882-1969) befasste sich überwiegend mit der Mengenlehre. Er war so bedeutend, dass sogar ein Krater auf der Rückseite des Mondes seinen Namen trägt. 

Auf den Namen Siepinski geht folgende Konstruktion eines gleichseitigen Dreieckes zurück:

Man nehme ein gleichseitiges Dreieck und male es aus (zur besseren Vorstellung).

Im zweiten Schritt teilen wir jede Seite des Dreieckes in der Mitte und verbinden die Punkte zu einem „neuen“ Dreieck.

Dann stellen wir uns vor, wir schneiden dieses „neue“ Dreieck aus dem ursprünglichen Dreieck heraus. Wir erhalten somit drei „übrig gebliebene“ Dreiecke, die noch ausgemalt sind. Das Dreieck in der Mitte haben wir ja herausgeschnitten. In jedem der drei ausgemalen Dreiecke halbieren wir wieder alle Seiten und verbinden die Punkte zu einem Dreieck, welches wir wiederum „herausschneiden“.

Das sollte dann so aussehen:

Wenn wir das Teilen aller ausgemalten Dreiecke noch einige Male wiederholen, sieht das so aus:

Wenn wir dieses Verfahren sehr sehr oft wiederholen, kommt es dazu, dass irgendwann in einem noch ausgemalten Dreieck die Seitenlängen so klein sind, dass wir nur noch Punkte sehen können. Dennoch kann man mathematisch diese sehr sehr kurze Seite noch beliebig oft teilen. Das Verbinden der Punkte zu einem neuen Dreieck ist uns dann unmöglich, da die Seitenlänge für uns aussieht wie ein Punkt. Diesen zu teilen funktioniert mathematisch wunderbar, wir scheitern jedoch, es zu sehen, durch unsere Wahrnehmung.

Mathematisches:

Es gelte folgende Definition:

Das Sierpinski-Dreieck ist die Menge aller Punkte der Ebene, die übrig bleibt, wenn man das Verfahren unendlich oft wiederholt.

Begriffsdefinition:

Das zu teilende Dreieck wird Initiator genannt.

Das herausgeschnittene Dreieck wird Generator genannt.

Das ständige Wiederholen des Vorganges des Teilens wird Iteration genannt.

Wieviele Dreiecke sind es denn? 

Dazu zählen wir die Iterationen (Wiederholungen). Man spricht auch oft von Dimensionen oder Graden.

Mit der Teilung eines Dreieckes erhalten wir drei neue Dreiecke. 

N = Anzahl der Dreiecke

n = Interation, Dimension, Grad (wie oft habe ich mein ursprüngles Dreieck schon geteilt)

Wenn ich mein ursprüngliches Dreieck einmal teile, erhalte ich drei neue Dreiecke. Teile ich diese drei neuen Dreiecke (n=2), erhalte ich 3² Dreiecke = 9. Im zweiten Durchlauf des Teilens erhalte ich neun neue Dreiecke. Im dritten Durchlauf erhalte ich 3³=27 neue Dreiecke. Zählen Sie gern in der zweiten Abbildung oben nach – es stimmt.

Im vierten Durchlauf (Iteration, Dimension, Grad) kommen wir auf 81 Dreiecke. Im fünften Durchlauf (Iteration, Dimension, Grad) sind wir bei 243 Dreiecken.

Ihnen wird sicher klar, dass man solch ein Konstrukt nicht mehr mit Bleistift und Lineal auf einem DIN A 4 Blatt realisiert.

Hier kommt der Übergang von der Mathematik zur Informatik zum tragen. Diese Grundlage, die auf rein mathematischen Grundlagen beruht, wird digitalisiert und am PC graphisch wiedergegeben. 

Graphikdesign

Dies sähe in einem sehr spontanen Versuch etwa so aus:

Erkennen Sie es wieder? Ja, diese Graphik hat das Sierpinski Dreieck noch sehr deutlich als Erkennungsmerkmal.

Ein weiterer spontander Versuch:

 

 

Würden Sie immernoch erahnen, dass dieser Graphik das Sierpinski-Dreieck zugrunde liegt? Ich habe die obere Graphik genommen, die aus drei identischen, überlappenden Siepinski-Dreiecken besteht, und habe an jedem „großen“ Dreieck Richtung und Ausdehnung in der Ebene verändert. Somit verändert sich das gesamte Gebilde. 

In einem weiteren Schritt könnte ich verschiedene andere Gebilde mit beimengen, verschieben, in ihrer Größe verändern, die Farbgebung gestalten.

Das nennt man dann Fraktal-Design.